微分
- 微分とは関数 f(x) の導関数 f′(x) を求めること
- f′(x) は y′ または $\frac{dy}{dx}$ と表されることがある
- 読み方：「エフプライムエックス」、「ワイプライム」、「ディーワイディーエックス」
例題
$$y = 3x^2 + 2x + 1$$
yをxで微分
$$y′ = 6x + 2$$
偏微分
- 多変数関数を微分するときに、1つの変数にだけ注目し、それ以外は定数として扱う
- 偏微分では常微分と明確に区別するために d 記号の代わりに ∂ 記号が用いられる
- 偏微分記号「∂」の読み方：「デル」、「ラウンドディー」、「パーシャルディー」（IMEでは「デル」で入力可能）
例題
$$z = 3x^2 + y^2 + 4x + 5y + 6$$
zをxで偏微分した場合
$$\frac{∂z}{∂x} = 6x + 4$$
zをyで偏微分した場合
$$\frac{∂z}{∂y} = 2y + 5$$
合成関数の微分
yがuの関数、uがxの関数であるとき、yをxで微分すると以下が成り立ちます。
公式1：$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$u = g(x)$、$y = f(u)$とすると、以下が成り立ちます。
公式2：$$\{f(g(x))\}’ = f'(g(x))g'(x)$$
例題
$$y = (x^2 + 3x + 5)^4$$
- $g(x)$の部分「$x^2 + 3x + 5$」を塊と見なします。
- yを塊で微分します。→ $4(x^2 + 3x + 5)^3$
- 塊をxで微分します。→ $2x + 3$
- 2と3の積を求めます。→ $4(x^2 + 3x + 5)^3(2x + 3)$